Inicialização

> restart;

> with( DEtools ):

> with( plots ):

> with( linalg ):

> with( PDEtools ):

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Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Definição Geral de Parâmetros

> theta:=0.5:

Componente autonomo. Valor do crescimento do estoque de capital para o caso em que m = 0.

> alpha0:=0.02:

> a1geral := 0.02:

Coeficiente que capta o efeito lucratividade.

> alpha1:= a1geral:

> a2geral := 0.02:

Coeficiente que capta o efeito acelerador.

> alpha2:=a2geral:

Taxa de Lucro "desejada" pelos capitalistas

> lucro_des:=0.09:

Valor da taxa de poupança que garante m positivo.

> sc:=0.42:

Relação Produto-Capital Inicial.

> pk_0:=0.5:

Participação dos lucros na renda Inicial

> m_0:=0.3:

Fator de progresso técnico - Poupador de Capital

> h_poupador := 0.01:

Fator de progresso técnico - Dispendioso de Capital

> h_dispendioso := -0.01:

Número de períodos a serem analisados graficamente

> tempo:=100:

Caso 1: (Somente Efeito Acelerador)

> alpha1:=0:

Redefinindo Parâmetros e Condições Iniciais

Condições Iniciais e relações

> u_desejado:=(alpha0+alpha1*m_0)/(pk_0*(sc*m_0-alpha2));

Trata-se da derivada que capta o efeito de uma variação da relação produto-capital sobre o nível de utilização da capacidade produtiva de equilíbrio de curto-prazo.

> u_pk:=-(alpha0+alpha1*m_0)/(pk_0^2*(sc*m_0-alpha2));

Trata-se da derivada que capta o efeito de uma variação da participação dos lucros na renda sobre o nível de utilização da capacidade produtiva de equilíbrio de curto-prazo

> u_m:=-(alpha0*sc+alpha1*alpha2)/(pk_0*(sc*m_0-alpha2)^2);

Elasticidade do nível de utilização da capacidade produtiva com respeito à participação dos lucros na renda.

> epsilon:=sc*m_0/(sc*m_0-alpha2)-alpha1*m_0/(alpha0+alpha1*m_0);

A relação abaixo determina o "m de equilíbrio" que deve ser superior a 0.

> (alpha2*lucro_des)/(sc*lucro_des-alpha0);

O resultado abaixo precisa ser maior que 0 , para assegurar que u_desejado>0

> sc*m_0-alpha2;

Com o progresso técnico exógeno h = 0

> h:=0:

Verificando Estabilidade

A := linalg[matrix](2,2,[(theta*alpha0*alpha2)/(sc*m_0-alpha2)^2, 0, 0, h]);

> det(A);

> trace(A);

> epsilon;

Encontrando valores de equilíbrio

> pke:='pke':me:='me':

> solve({0=-theta*(me*pk_0*u_desejado-lucro_des)},{me});

> equacoes:=diff(m(t),t)=-theta*((alpha0*m(t))/(sc*m(t)-alpha2)-lucro_des):

> solucao_m := dsolve({equacoes,m(0)=m_0},m(t),type=numeric):

> graf_m:=odeplot(solucao_m,[t,m(t)],0..tempo,linestyle=1,colour=red,legend="m", title="h = 0", labels=["",""]):

> solucao_m:=dsolve({equacoes,m(0)=m_0}, numeric, output=listprocedure,
range=0..tempo):

> dsolm:= subs(solucao_m,m(t)):

Cálculo do grau de utilização de capacidade de equilíbrio:

> ut:=(alpha0+alpha1*dsolm(t))/(pk_0*(sc*dsolm(t)-alpha2)):

> graf_u:=plot(ut,t=0..tempo,linestyle=1,colour=blue,legend="U*"):

> linhaPK:= PLOT(CURVES([[0,pk_0],[tempo,pk_0]],LEGEND("pk")),COLOUR(RGB,0,1,0), LINESTYLE(1),THICKNESS(1)):

> display(graf_m,graf_u,linhaPK);

Taxa de lucro no tempo:

> rt:=ut*dsolm(t)*pk_0:

> graf_r:=plot(rt,t=0..tempo,linestyle=1,colour=red,legend="R",title="Taxa de Lucro / Investimento", labels=["",""]):

> it:=alpha0+alpha1*dsolm(t)+(alpha2*alpha0)/(sc*dsolm(t)-alpha2):

> graf_i:=plot(it,t=0..tempo,linestyle=1,colour=blue,legend="I/K"):

> display(graf_r,graf_i);

Taxa de Lucro Inicial

> (alpha0*m_0)/(sc*m_0-alpha2);

Taxa de Lucro quando m tende ao infinito

> limit((alpha0*m)/(sc*m-alpha2),m=infinity);

Taxa de Investimento Inicial

> alpha0+alpha1*m_0+(alpha2*alpha0)/(sc*m_0-alpha2);

Taxa de Investimento quando m tende ao infinito

> limit(alpha0+alpha1*m+(alpha2*alpha0)/(sc*m-alpha2),m=infinity);

Com o progresso técnico dispendioso de capital h < 0

> h:=h_dispendioso:

Verificando Estabilidade

A := linalg[matrix](2,2,[(theta*alpha0*alpha2)/(sc*m_0-alpha2)^2, 0, 0, h]);

>

> det(A);

> trace(A);

> equacoes:={diff(m(t),t)=-theta*((alpha0*m(t))/(sc*m(t)-alpha2)-lucro_des),diff(pk(t),t)=h*pk(t)}:

> solucao_m_pk := dsolve(equacoes union {m(0)=m_0,pk(0)=pk_0},{m(t),pk(t)},type=numeric):

> graf_m:=odeplot(solucao_m_pk,[[t,m(t)],[t,pk(t)]],0..tempo,linestyle=1,legend=["m","pk"], title="h < 0", labels=["",""]):

> solucao_m_pk:=dsolve(equacoes union {m(0)=m_0,pk(0)=pk_0}, numeric, output=listprocedure,
range=0..tempo):

> dsolm := subs(solucao_m_pk,m(t)):dsolpk := subs(solucao_m_pk,pk(t)):

Cálculo do grau de utilização de capacidade de equilíbrio:

> ut:=(alpha0+alpha1*dsolm(t))/(dsolpk(t)*(sc*dsolm(t)-alpha2)):

> graf_u:=plot(ut,t=0..tempo,linestyle=1,colour=blue,legend="U*"):

> display(graf_m,graf_u);

Com o progresso técnico poupador de capital h > 0

> h:=h_poupador:

Verificando Estabilidade

A := linalg[matrix](2,2,[(theta*alpha0*alpha2)/(sc*m_0-alpha2)^2, 0, 0, h]);

>

> det(A);

> trace(A);

> equacoes:={diff(m(t),t)=-theta*((alpha0*m(t))/(sc*m(t)-alpha2)-lucro_des),diff(pk(t),t)=h*pk(t)}:

> solucao_m_pk := dsolve(equacoes union {m(0)=m_0,pk(0)=pk_0},{m(t),pk(t)},type=numeric):

> graf_m:=odeplot(solucao_m_pk,[[t,m(t)],[t,pk(t)]],0..tempo,linestyle=1,legend=["m","pk"], title="h > 0", labels=["",""]):

> solucao_m_pk:=dsolve(equacoes union {m(0)=m_0,pk(0)=pk_0}, numeric, output=listprocedure,
range=0..tempo):

> dsolm := subs(solucao_m_pk,m(t)):dsolpk := subs(solucao_m_pk,pk(t)):

Cálculo do grau de utilização de capacidade de equilíbrio:

> ut:=(alpha0+alpha1*dsolm(t))/(dsolpk(t)*(sc*dsolm(t)-alpha2)):

> graf_u:=plot(ut,t=0..tempo,linestyle=1,colour=blue,legend="U*"):

> display(graf_m,graf_u);

Caso 2: (Somente Efeito Lucratividade)

> alpha2:=0:

Redefinindo Parâmetros e Condições Iniciais

Coeficiente que capta o efeito lucratividade.

> alpha1:=a1geral:

Condições Iniciais e relações

> u_desejado:=(alpha0+alpha1*m_0)/(pk_0*(sc*m_0-alpha2));

Taxa de lucro Inicial

> (alpha0+alpha1*m_0)/sc;

Trata-se da derivada que capta o efeito de uma variação da relação produto-capital sobre o nível de utilização da capacidade produtiva de equilíbrio de curto-prazo.

> u_pk:=-(alpha0+alpha1*m_0)/(pk_0^2*(sc*m_0-alpha2));

Trata-se da derivada que capta o efeito de uma variação da participação dos lucros na renda sobre o nível de utilização da capacidade produtiva de equilíbrio de curto-prazo

> u_m:=-alpha0/(sc*pk_0*m_0^2);

Elasticidade do nível de utilização da capacidade produtiva com respeito à participação dos lucros na renda.

> epsilon:=sc*m_0/(sc*m_0-alpha2)-alpha1*m_0/(alpha0+alpha1*m_0);

A relação abaixo determina o m de equilíbrio que deve ser superior a 0.

> equilibrio_m:=(lucro_des*sc-alpha0)/alpha1;

> sc-alpha0/lucro_des;

> (alpha1+alpha0)/lucro_des-sc;

Com o progresso técnico exógeno h = 0

> h:=0:

Verificando Estabilidade

> A := linalg[matrix](2,2,[-theta*alpha1/sc, 0, 0, h]);

> det(A);

> trace(A);

> equacoes:=diff(m(t),t)=-theta*((alpha0+alpha1*m(t))/sc-lucro_des):

> solucao_m := dsolve({equacoes,m(0)=m_0},m(t),type=numeric):

> graf_m:=odeplot(solucao_m,[t,m(t)],0..tempo,linestyle=1,colour=red,legend="m", title="h = 0", labels=["",""]):

> solucao_m:=dsolve({equacoes,m(0)=m_0}, numeric, output=listprocedure,
range=0..tempo):

> dsolm:= subs(solucao_m,m(t)):

Cálculo do grau de utilização de capacidade de equilíbrio:

> ut:=(alpha0+alpha1*dsolm(t))/(sc*dsolm(t)*pk_0):

> graf_u:=plot(ut,t=0..tempo,linestyle=1,colour=blue,legend="U*"):

> linhaPK:= PLOT(CURVES([[0,pk_0],[tempo,pk_0]],LEGEND("pk")),COLOUR(RGB,0,1,0), LINESTYLE(1),THICKNESS(1)):

> display(graf_m,graf_u,linhaPK);

Valor inicial de U*

> (alpha0+alpha1*m_0)/(sc*m_0*pk_0);

Valor de estabilidade de U*

> (alpha0+alpha1*equilibrio_m)/(sc*equilibrio_m*pk_0);

Taxa de lucro no tempo:

> rt:=ut*dsolm(t)*pk_0:

> graf_r:=plot(rt,t=0..tempo,linestyle=1,colour=red,legend="R",title="Taxa de Lucro / Investimento", labels=["",""]):

> it:=alpha0+alpha1*dsolm(t)+(alpha2*alpha0)/(sc*dsolm(t))+(alpha2*alpha1)/sc:

> graf_i:=plot(it,t=0..tempo,linestyle=1,colour=blue,legend="I/K"):

> display(graf_r,graf_i);

Valor inicial de R

> (alpha0+alpha1*m_0)/sc;

Valor de equilíbrio de R

> (alpha0+alpha1*equilibrio_m)/sc;

Valor inicial de I/K

> alpha0+alpha1*m_0+(alpha2*alpha0)/(sc*m_0)+(alpha2*alpha1)/sc;

Valor de equilibrio de I/K

> alpha0+alpha1*equilibrio_m+(alpha2*alpha0)/(sc*equilibrio_m)+(alpha2*alpha1)/sc;

Com o progresso técnico dispendioso de capital h < 0

> h:=h_dispendioso:

Verificando Estabilidade

> A := linalg[matrix](2,2,[-theta*alpha1/sc, 0, 0, h]):

> det(A);

> trace(A);

> equacoes:={diff(m(t),t)=-theta*((alpha0+alpha1*m(t))/sc-lucro_des),diff(pk(t),t)=h*pk(t)}:

> solucao_m_pk := dsolve(equacoes union {m(0)=m_0,pk(0)=pk_0},{m(t),pk(t)},type=numeric):

> graf_m:=odeplot(solucao_m_pk,[[t,m(t)],[t,pk(t)]],0..tempo,linestyle=1,legend=["m","pk"], title="h < 0", labels=["",""]):

> solucao_m_pk:=dsolve(equacoes union {m(0)=m_0,pk(0)=pk_0}, numeric, output=listprocedure,
range=0..tempo):

> dsolm := subs(solucao_m_pk,m(t)):dsolpk := subs(solucao_m_pk,pk(t)):

Cálculo do grau de utilização de capacidade de equilíbrio:

> ut:=(alpha0+alpha1*dsolm(t))/(sc*dsolm(t)*dsolpk(t)):

> graf_u:=plot(ut,t=0..tempo,linestyle=1,colour=blue,legend="U*"):

> linha:= PLOT(CURVES([[22,0],[22,0.82]]),COLOUR(RGB,0,0,0), LINESTYLE(3),THICKNESS(1)):

> legenda :=PLOT(TEXT([12,0.65],'`Wage`'),TEXT([12,0.58],'`Led`'),TEXT([55,0.65],'`Profit`'),TEXT([55,0.58],'`Led`')):

> display(graf_m,graf_u,linha,legenda);

Valor inicial de U*

> (alpha0+alpha1*m_0)/(sc*m_0*pk_0);

Valor de estabilidade de U*

> limit((alpha0+alpha1*equilibrio_m)/(sc*equilibrio_m*pk),pk=0);

Com o progresso técnico poupador de capital h > 0

> h:=h_poupador:

Verificando Estabilidade

> A := linalg[matrix](2,2,[-theta*alpha1/sc, 0, 0, h]);

> det(A);

> trace(A);

> epsilon;

> equacoes:={diff(m(t),t)=-theta*((alpha0+alpha1*m(t))/sc-lucro_des),diff(pk(t),t)=h*pk(t)}:

> solucao_m_pk := dsolve(equacoes union {m(0)=m_0,pk(0)=pk_0},{m(t),pk(t)},type=numeric):

> graf_m:=odeplot(solucao_m_pk,[[t,m(t)],[t,pk(t)]],0..tempo,linestyle=1,legend=["m","pk"], title="h > 0", labels=["",""]):

> solucao_m_pk:=dsolve(equacoes union {m(0)=m_0,pk(0)=pk_0}, numeric, output=listprocedure,
range=0..tempo):

> dsolm := subs(solucao_m_pk,m(t)):dsolpk := subs(solucao_m_pk,pk(t)):

Cálculo do grau de utilização de capacidade de equilíbrio:

> ut:=(alpha0+alpha1*dsolm(t))/(sc*dsolm(t)*dsolpk(t)):

> graf_u:=plot(ut,t=0..tempo,linestyle=1,colour=blue,legend="U*"):

> display(graf_m,graf_u);

Valor inicial de U*

> (alpha0+alpha1*m_0)/(sc*m_0*pk_0);

Valor de estabilidade de U*

> limit((alpha0+alpha1*equilibrio_m)/(sc*equilibrio_m*pk),pk=infinity);

Caso 3: e (Efeito Lucratividade e Acelerador)

Redefinindo Parâmetros e Condições Iniciais

Coeficiente que capta o efeito lucratividade.

> alpha1:=a1geral:

Coeficiente que capta o efeito acelerador.

> alpha2:=a2geral:

Condições Iniciais e relações

> u_desejado:=(alpha0+alpha1*m_0)/(pk_0*(sc*m_0-alpha2));

Trata-se da derivada que capta o efeito de uma variação da relação produto-capital sobre o nível de utilização da capacidade produtiva de equilíbrio de curto-prazo.

> u_pk:=-(alpha0+alpha1*m_0)/(pk_0^2*(sc*m_0-alpha2));

Trata-se da derivada que capta o efeito de uma variação da participação dos lucros na renda sobre o nível de utilização da capacidade produtiva de equilíbrio de curto-prazo

> u_m:=-(alpha0*sc+alpha1*alpha2)/(pk_0*(sc*m_0-alpha2)^2);

Elasticidade do nível de utilização da capacidade produtiva com respeito à participação dos lucros na renda.

> epsilon:=sc*m_0/(sc*m_0-alpha2)-alpha1*m_0/(alpha0+alpha1*m_0);

A relação abaixo determina o "m de equilíbrio" que deve ser superior a 0.

> equilibrio_m:=(sc*lucro_des-alpha0+((sc*lucro_des-alpha0)^2-4*alpha1*alpha2*lucro_des)^0.5)/(2*alpha1);

Valor do discriminante. Deve ser maior ou igual a zero .

> (sc*lucro_des-alpha0)^2-4*alpha1*alpha2*lucro_des;

O resultado abaixo precisa ser maior que 0 , para assegurar que u_desejado > 0

> sc*m_0-alpha2;

mesma analise acima, só que para o valor de m de equilibrio de longo prazo.

> sc*equilibrio_m-alpha2;

O resultado abaixo precisa ser maior que 0 , para assegurar que não seja explosivo ( < 0).

> sc-(alpha2*(alpha0+2*alpha1*m_0))/(alpha1*m_0^2);

Temos a mesma analise acima, só que para o valor de m de equilibrio de longo prazo.

> sc-(alpha2*(alpha0+2*alpha1*equilibrio_m))/(alpha1*equilibrio_m^2);

Com o progresso técnico exógeno h = 0

> h:=0:

Verificando Estabilidade

A := linalg[matrix](2,2,[theta*(alpha0*alpha2-alpha1*m_0*(sc*m_0-2*alpha2))/((sc*m_0-alpha2)^2), 0, 0, h]);

> det(A);

> trace(A);

> equacoes:=diff(m(t),t)=-theta*(m(t)*(alpha0+alpha1*m(t))/(sc*m(t)-alpha2)-lucro_des):

> solucao_m := dsolve({equacoes,m(0)=m_0},m(t),type=numeric):

> graf_m:=odeplot(solucao_m,[t,m(t)],0..tempo,linestyle=1,colour=red,legend="m", title="h = 0", labels=["",""]):

> solucao_m:=dsolve({equacoes,m(0)=m_0}, numeric, output=listprocedure,
range=0..tempo):

> dsolm:= subs(solucao_m,m(t)):

Cálculo do grau de utilização de capacidade de equilíbrio:

> ut:=(alpha0+alpha1*dsolm(t))/(pk_0*(sc*dsolm(t)-alpha2)):

> graf_u:=plot(ut,t=0..tempo,linestyle=1,colour=blue,legend="U*"):

> linhaPK:= PLOT(CURVES([[0,pk_0],[tempo,pk_0]],LEGEND("pk")),COLOUR(RGB,0,1,0), LINESTYLE(1),THICKNESS(1)):

> display(graf_m,graf_u,linhaPK);

Valor inicial de U*

> (alpha0+alpha1*m_0)/(pk_0*(sc*m_0-alpha2));

Valor de estabilidade de U*

> (alpha0+alpha1*equilibrio_m)/(pk_0*(sc*equilibrio_m-alpha2));

Taxa de lucro no tempo:

> rt:=ut*dsolm(t)*pk_0;

> graf_r:=plot(rt,t=0..tempo,linestyle=1,colour=red,legend="R",title="Taxa de Lucro / Investimento", labels=["",""]):

> it:=alpha0+alpha1*dsolm(t)+alpha2*(alpha0+alpha1*dsolm(t))/(sc*dsolm(t)-alpha2);

> graf_i:=plot(it,t=0..tempo,linestyle=1,colour=blue,legend="I/K"):

> display(graf_r,graf_i);

Valor inicial de R

> m_0*(alpha0+alpha1*m_0)/(sc*m_0-alpha2);

Valor de equilíbrio de R

> equilibrio_m*(alpha0+alpha1*equilibrio_m)/(sc*equilibrio_m-alpha2);

Valor inicial de I/K

> alpha0+alpha1*m_0+alpha2*(alpha0+alpha1*m_0)/(sc*m_0-alpha2);

Valor de equilibrio de I/K

> alpha0+alpha1*equilibrio_m+alpha2*(alpha0+alpha1*equilibrio_m)/(sc*equilibrio_m-alpha2);

Com o progresso técnico dispendioso de capital h < 0

> h:=h_dispendioso:

Verificando Estabilidade

A := linalg[matrix](2,2,[theta*(alpha0*alpha2-alpha1*m_0*(sc*m_0-2*alpha2))/((sc*m_0-alpha2)^2), 0, 0, h]);

> det(A);

> trace(A);

> equacoes:={diff(m(t),t)=-theta*(m(t)*(alpha0+alpha1*m(t))/(sc*m(t)-alpha2)-lucro_des),diff(pk(t),t)=h*pk(t)}:

> solucao_m_pk := dsolve(equacoes union {m(0)=m_0,pk(0)=pk_0},{m(t),pk(t)},type=numeric):

> graf_m:=odeplot(solucao_m_pk,[[t,m(t)],[t,pk(t)]],0..tempo,linestyle=1,legend=["m","pk"], title="h < 0", labels=["",""]):

> solucao_m_pk:=dsolve(equacoes union {m(0)=m_0,pk(0)=pk_0}, numeric, output=listprocedure,
range=0..tempo):

> dsolm := subs(solucao_m_pk,m(t)):dsolpk := subs(solucao_m_pk,pk(t)):

Cálculo do grau de utilização de capacidade de equilíbrio:

> ut:=(alpha0+alpha1*dsolm(t))/(dsolpk(t)*(sc*dsolm(t)-alpha2)):

> graf_u:=plot(ut,t=0..tempo,linestyle=1,colour=blue,legend="U*"):

> linha:= PLOT(CURVES([[25,0],[25,0.72]]),COLOUR(RGB,0,0,0), LINESTYLE(3),THICKNESS(1)):

> legenda :=PLOT(TEXT([12,0.57],'`Wage`'),TEXT([12,0.51],'`Led`'),TEXT([55,0.57],'`Profit`'),TEXT([55,0.51],'`Led`')):

> display(graf_m,graf_u,linha,legenda);

Valor inicial de U*

> (alpha0+alpha1*m_0)/(pk_0*(sc*m_0-alpha2));

Valor de estabilidade de U*

> limit((alpha0+alpha1*equilibrio_m)/(pk*(sc*equilibrio_m-alpha2)),pk=0);

Com o progresso técnico poupador de capital h > 0

> h:=h_poupador:

Verificando Estabilidade

A := linalg[matrix](2,2,[theta*(alpha0*alpha2-alpha1*m_0*(sc*m_0-2*alpha2))/((sc*m_0-alpha2)^2), 0, 0, h]);

> det(A);

> trace(A);

> equacoes:={diff(m(t),t)=-theta*(m(t)*(alpha0+alpha1*m(t))/(sc*m(t)-alpha2)-lucro_des),diff(pk(t),t)=h*pk(t)}:

> solucao_m_pk := dsolve(equacoes union {m(0)=m_0,pk(0)=pk_0},{m(t),pk(t)},type=numeric):

> graf_m:=odeplot(solucao_m_pk,[[t,m(t)],[t,pk(t)]],0..tempo,linestyle=1,legend=["m","pk"], title="h > 0", labels=["",""]):

> solucao_m_pk:=dsolve(equacoes union {m(0)=m_0,pk(0)=pk_0}, numeric, output=listprocedure,
range=0..tempo):

> dsolm := subs(solucao_m_pk,m(t)):dsolpk := subs(solucao_m_pk,pk(t)):

Cálculo do grau de utilização de capacidade de equilíbrio:

> ut:=(alpha0+alpha1*dsolm(t))/(dsolpk(t)*(sc*dsolm(t)-alpha2)):

> graf_u:=plot(ut,t=0..tempo,linestyle=1,colour=blue,legend="U*"):

> display(graf_m,graf_u);

Valor inicial de U*

> (alpha0+alpha1*m_0)/(pk_0*(sc*m_0-alpha2));

Valor de estabilidade de U*

> limit((alpha0+alpha1*equilibrio_m)/(pk*(sc*equilibrio_m-alpha2)),pk=infinity);

Referência

ONO, Fabio Hideki; OREIRO, J.L. (2004) 'Progresso tecnológico, distribuição de renda e utilização da capacidade produtiva: uma análise baseada em simulações computacionais' Economia (Revista da ANPEC), v. 5, n. 1, janeiro/julho pp. 35-66